Объем конуса


Если взять и рассмотреть окружность А с центром О и прямую ОБ, которая перпендикулярна к плоскости данной окружности. Через одну из точек (Б) и все точки, которые находятся на данной окружности, будут проведены прямые. Этими прямыми будет образована поверхность, которую называют поверхностью конической, а сами эти прямые –конической поверхности образующие. Точка Б называется вершиной, ось конической поверхности прямая ОБ.

Мы получили тело, которое ограниченно данной поверхностью конической и кругом, у которого граница А. Данное тело будет называться - конусом. Круг, у которого граница А будет называться - основанием конуса, коническая поверхность имеет вершину, которая называется – конуса вершиной.

Коническую поверхность, ограниченная отрезками, а так же кругом с границей А, называется конусом. Граница А, образующая круг, будет называться основанием конусным, вершина – вершиной конусной, отрезки образующих, которые заключены между данной вершиной и данным основанием – конусными образующими, а образованная ими часть поверхности конической – конической боковой поверхностью. Коническая поверхность имеет ось, которая называется конической осью, а осевой отрезок, который заключен между основанием конуса и его вершиной, называется высотой конуса.

Если взять прямоугольный треугольник и начать вращать его вокруг любого катета, то так же можно получить конус.

Когда у основания конуса есть центр симметрии, то этот конус называют прямым. А прямая, которая соединяет вершину конуса и данный центр симметрии, называется конусной осью.

Если в основании конуса находится многоугольник, то такой конус называют пирамидой.


Объем конуса равен одной третьей части от умножения площади основания этого треугольника на его высоту.

Доказательство.его

Возьмем и исследуем конус, который имеет объем О, радиус основания Р, высоту В и вершину в точке O. Возьмем ось Oх. (OМ – ось конуса). Если провести сечение конуса произвольно плоскостью, которая будет параллельна к основанию или перпендикулярна к оси Oх,то данная плоскость будет являться кругом, у которого центр в точке М I, пересечения этой плоскости с осью Oх. Радиус этого круга обозначим через Р I, а площадь сечения через С (х), где х – собственно абсцисса точки М I. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ 1А1 и ОМА получаем следующее:


М1 = Р1 , или x = Р1 откуда Р1= xР т.к. П(x)=ПиР12 ,то П(x)= ПиР2х2

ОМ Р В Р В В2

Откуда

Применив основную итоговую формулу для получения вычислений объемов тел при а = 0, б = В получаем:

в в в

О= ПиР2 x2dx= ПиР2 x2dx= ПиР2 x3 = 1 ПиР2В

В2 В2 В2 3 3

Площадь основания нашего конуса равна: ПиР2 Поэтому объем конуса О=1/3ПВ.


Если мы возьмем какой- то произвольный конус и проведем плоскость которая является секущей, которая будет перпендикулярной к оси нашего конуса. Эта плоскость будет пересекаться с данным конусом по кругу и разобьет его на 2 части. Одна его часть (верхняя) будет представлять собой конус, а другая, не имеющая вершины, будет называться конусом усеченным. Основание, оставшееся от исходного конуса и круг, который был получен в результате сечении такого конуса плоскостью, называется усеченного конуса основанием, а отрезок, соединяющий их центры, - усеченного конуса высотой.

Коническая поверхность (ее часть), которая ограничивает конус усеченный, называется боковой поверхностью конуса, а отрезки, которые образуют коническую поверхность, они заключены между его основаниями, называются его образующими конуса усеченного.

Получить усеченный конус, можно так же используя прямоугольную трапецию. Для этого надо вращать данную трапецию вокруг боковой стороны, которая является перпендикулярной основанию.

Усеченный конус объем.

.Находим усеченный конус объем. Для этого используем, уже известную, формулу объем конуса. Формула дана выше.

Мы имеем усеченный конус объем, которого О. При высоте равной В, а площади основания равны П и П1.


По формуле рассчитываем усеченный конус объем:

О=1/3 В(П•П1+ П•П1)


Дополнительно:

  • Теорема косинусов
  • Периметр треугольника
  • Умножение векторов
  • Разбор задания 16 из базового ЕГЭ 2017 по математике
  • Решение задания 20 из базового ЕГЭ 2017 по математике


  • Навигация
    Популярное
    Вступите в Мир ЕГЭ