Для острого и тупого угла были сформулированы утверждения, которые были обобщены теоремой Пифагора и эквивалентными теореме косинусов. Для треугольника сферического применялась теорема косинусов математиками в странах Средней Азии. В Европе теорема косинусов стала известна в 16 столетии.
Формулировка.
Сумма квадратов остальных двух сторон, за вычетом удвоенного их произведения, умноженная на косинус определенного угла между ними, соответствует квадрату одной стороны нашего треугольника.
Рассмотрим плоский треугольник, у которого обозначим стороны: а, б, в. Угол, противолежащий стороне а, обозначим е.
Будет справедливо соотношение для данного треугольника :
Доказательство теоремы:
Рассмотрим треугольник АБВ.
Из вершины В на сторону АБ опустим высоту ВС.
Треугольник АБВ является прямоугольным. Исходя из этого, величину стороны АС из соотношения тригонометрических функций можно найти
АС / АВ = кос е
АС = АВ кос е
АС = б кос е
Длину стороны БС найдем через разность АБ и АС:
БС = АБ – АС
БС = в – б кос е
Для треугольников АСВ и БСВ, имеющих прямой угол: воспользуемся теоремой Пифагора:
ВС 2 + БС2 = БВ2
ВС2 + АС 2= АВ2
Откуда
ВС 2= БВ2 – БС2
ВС2 = АВ2 – АС2
Так как левые части уравнения равны, то правые части уравнений приравниваем:
БВ2 – БС2 = АВ2 – АС2
Подставим значение сторон (а, б, в).
а2 – ( в – б кос е)2 = б2 – (б кос е)2
а2 = (в – б кос е) 2+ б 2– (б кос е)2
а2 = б 2+ в2 – 2 б в кос е + (б кос е)2 – (б кос е)2
а2 = б2 + в2 – 2бв кос е.
Доказательство выполнено.
Для треугольника, у которого, на продолжение основания падает высота, а угол основания тупой также подходит теорема косинусов для треугольника.
Теорема косинусов для треугольника. Следствие.
Она опирается на свойства функции кос:
• Если , то cos а >0
• Ecли =90°, то cos е=0
• Если , то cos а<0
Используя формулу, которая была получена ранее, выражаем кос а:
а2 = б2 + с2–2бскоса
2бс кос а =б2 + с 2– а 2
Кос а = б2 + с2 – а2 / 2бс
2бс больше 0, при любых б и с ( так как длины сторон положительные), значит:
Если б2 + с2 – а2 больше 0, угол острый
Если б2 + с 2– а2 равен 0, угол прямой
Если б2 + с2 – а2 меньше 0, угол тупой
а, б, с – стороны рассматриваемого треугольника.
Теорема косинусов для треугольника может быть использована для угла имеющего три грани.
3-х гранный угол представляет собой пространство, которое ограничено тремя плоскими углами, имеющими одну вершину и общими сторонами попарно, которые не лежат в одной плоскости. Вершиной 3- х гранного угла называется вершина общая для этих углов. Гранями иначе называют плоские углы при вершине 3- х граного угла, а стороны называются ребрами. Двугранный угол образуют две грани из угла, имеющего три грани, который ограничен третьей гранью, которая не входит в пару. Если в центр сферы поместить вершину трехгранного угла, то на ее поверхности образуется сферический треугольник. Его стороны равны плоским углам трехгранного угла, а углы равны двухгранным углам.
Теорема косинусов для угла, имеющего три грани.
Для угла имеющего три грани теорема первая: кос а = кос б кос е + син б син е кос А,
Где а, б, е – плоские углы, А – двугранный угол
Так же есть теорема два для угла имеющего три грани.
Теорему косинусов для угла, имеющего три грани еще по – другому называют сферической геометрией .
Теорема - доказательство так же применяется в геометрии Лобачевского.
Теорема косинусов доказательство может быть использована и для четырехугольника.
.Утверждение, которое называют, иногда, теорема косинусов для четырехугольника можно получить, если возвести в квадрат тождество: АВ = АБ + БС + СВ
АВ, АБ, БС, СВ – стороны прямоугольника.
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б – 2 ас кос е – 2бс кос С, где е- угол находящийся между прямыми АБ и СВ.
Можно сказать по другому:
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б + 2 ас кос (угла А + угла В) – 2бс кос С
Применить теорему можно и в других случаях.
Вместе с теоремой косинусов для треугольника практически всегда применяют теорему синусов для треугольника. А так же эта она применяется для других геометрических фигур.
Решение заданий с применением теоремы косинусов:
Формулировка.
Сумма квадратов остальных двух сторон, за вычетом удвоенного их произведения, умноженная на косинус определенного угла между ними, соответствует квадрату одной стороны нашего треугольника.
Рассмотрим плоский треугольник, у которого обозначим стороны: а, б, в. Угол, противолежащий стороне а, обозначим е.
Будет справедливо соотношение для данного треугольника :
Доказательство теоремы:
Рассмотрим треугольник АБВ.
Из вершины В на сторону АБ опустим высоту ВС.
Треугольник АБВ является прямоугольным. Исходя из этого, величину стороны АС из соотношения тригонометрических функций можно найти
АС / АВ = кос е
АС = АВ кос е
АС = б кос е
Длину стороны БС найдем через разность АБ и АС:
БС = АБ – АС
БС = в – б кос е
Для треугольников АСВ и БСВ, имеющих прямой угол: воспользуемся теоремой Пифагора:
ВС 2 + БС2 = БВ2
ВС2 + АС 2= АВ2
Откуда
ВС 2= БВ2 – БС2
ВС2 = АВ2 – АС2
Так как левые части уравнения равны, то правые части уравнений приравниваем:
БВ2 – БС2 = АВ2 – АС2
Подставим значение сторон (а, б, в).
а2 – ( в – б кос е)2 = б2 – (б кос е)2
а2 = (в – б кос е) 2+ б 2– (б кос е)2
а2 = б 2+ в2 – 2 б в кос е + (б кос е)2 – (б кос е)2
а2 = б2 + в2 – 2бв кос е.
Доказательство выполнено.
Для треугольника, у которого, на продолжение основания падает высота, а угол основания тупой также подходит теорема косинусов для треугольника.
Теорема косинусов для треугольника. Следствие.
Она опирается на свойства функции кос:
• Если , то cos а >0
• Ecли =90°, то cos е=0
• Если , то cos а<0
Используя формулу, которая была получена ранее, выражаем кос а:
а2 = б2 + с2–2бскоса
2бс кос а =б2 + с 2– а 2
Кос а = б2 + с2 – а2 / 2бс
2бс больше 0, при любых б и с ( так как длины сторон положительные), значит:
Если б2 + с2 – а2 больше 0, угол острый
Если б2 + с 2– а2 равен 0, угол прямой
Если б2 + с2 – а2 меньше 0, угол тупой
а, б, с – стороны рассматриваемого треугольника.
Теорема косинусов для треугольника может быть использована для угла имеющего три грани.
3-х гранный угол представляет собой пространство, которое ограничено тремя плоскими углами, имеющими одну вершину и общими сторонами попарно, которые не лежат в одной плоскости. Вершиной 3- х гранного угла называется вершина общая для этих углов. Гранями иначе называют плоские углы при вершине 3- х граного угла, а стороны называются ребрами. Двугранный угол образуют две грани из угла, имеющего три грани, который ограничен третьей гранью, которая не входит в пару. Если в центр сферы поместить вершину трехгранного угла, то на ее поверхности образуется сферический треугольник. Его стороны равны плоским углам трехгранного угла, а углы равны двухгранным углам.
Теорема косинусов для угла, имеющего три грани.
Для угла имеющего три грани теорема первая: кос а = кос б кос е + син б син е кос А,
Где а, б, е – плоские углы, А – двугранный угол
Так же есть теорема два для угла имеющего три грани.
Теорему косинусов для угла, имеющего три грани еще по – другому называют сферической геометрией .
Теорема - доказательство так же применяется в геометрии Лобачевского.
Теорема косинусов доказательство может быть использована и для четырехугольника.
.Утверждение, которое называют, иногда, теорема косинусов для четырехугольника можно получить, если возвести в квадрат тождество: АВ = АБ + БС + СВ
АВ, АБ, БС, СВ – стороны прямоугольника.
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б – 2 ас кос е – 2бс кос С, где е- угол находящийся между прямыми АБ и СВ.
Можно сказать по другому:
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б + 2 ас кос (угла А + угла В) – 2бс кос С
Применить теорему можно и в других случаях.
Вместе с теоремой косинусов для треугольника практически всегда применяют теорему синусов для треугольника. А так же эта она применяется для других геометрических фигур.
Решение заданий с применением теоремы косинусов:
