Для острого и тупого угла были сформулированы утверждения, которые были обобщены теоремой Пифагора и эквивалентными теореме косинусов. Для треугольника сферического применялась теорема косинусов математиками в странах Средней Азии. В Европе теорема косинусов стала известна в 16 столетии.
Формулировка.
Сумма квадратов остальных двух сторон, за вычетом удвоенного их произведения, умноженная на косинус определенного угла между ними, соответствует квадрату одной стороны нашего треугольника.
Рассмотрим плоский треугольник, у которого обозначим стороны: а, б, в. Угол, противолежащий стороне а, обозначим е.
Будет справедливо соотношение для данного треугольника :
Доказательство теоремы:
Рассмотрим треугольник АБВ.
Из вершины В на сторону АБ опустим высоту ВС.
Треугольник АБВ является прямоугольным. Исходя из этого, величину стороны АС из соотношения тригонометрических функций можно найти
АС / АВ = кос е
АС = АВ кос е
АС = б кос е
Длину стороны БС найдем через разность АБ и АС:
БС = АБ – АС
БС = в – б кос е
Для треугольников АСВ и БСВ, имеющих прямой угол: воспользуемся теоремой Пифагора:
ВС 2 + БС2 = БВ2
ВС2 + АС 2= АВ2
Откуда
ВС 2= БВ2 – БС2
ВС2 = АВ2 – АС2
Так как левые части уравнения равны, то правые части уравнений приравниваем:
БВ2 – БС2 = АВ2 – АС2
Подставим значение сторон (а, б, в).
а2 – ( в – б кос е)2 = б2 – (б кос е)2
а2 = (в – б кос е) 2+ б 2– (б кос е)2
а2 = б 2+ в2 – 2 б в кос е + (б кос е)2 – (б кос е)2
а2 = б2 + в2 – 2бв кос е.
Доказательство выполнено.
Для треугольника, у которого, на продолжение основания падает высота, а угол основания тупой также подходит теорема косинусов для треугольника.
Теорема косинусов для треугольника. Следствие.
Она опирается на свойства функции кос:
• Если , то cos а >0
• Ecли =90°, то cos е=0
• Если , то cos а<0
Используя формулу, которая была получена ранее, выражаем кос а:
а2 = б2 + с2–2бскоса
2бс кос а =б2 + с 2– а 2
Кос а = б2 + с2 – а2 / 2бс
2бс больше 0, при любых б и с ( так как длины сторон положительные), значит:
Если б2 + с2 – а2 больше 0, угол острый
Если б2 + с 2– а2 равен 0, угол прямой
Если б2 + с2 – а2 меньше 0, угол тупой
а, б, с – стороны рассматриваемого треугольника.
Теорема косинусов для треугольника может быть использована для угла имеющего три грани.
3-х гранный угол представляет собой пространство, которое ограничено тремя плоскими углами, имеющими одну вершину и общими сторонами попарно, которые не лежат в одной плоскости. Вершиной 3- х гранного угла называется вершина общая для этих углов. Гранями иначе называют плоские углы при вершине 3- х граного угла, а стороны называются ребрами. Двугранный угол образуют две грани из угла, имеющего три грани, который ограничен третьей гранью, которая не входит в пару. Если в центр сферы поместить вершину трехгранного угла, то на ее поверхности образуется сферический треугольник. Его стороны равны плоским углам трехгранного угла, а углы равны двухгранным углам.
Теорема косинусов для угла, имеющего три грани.
Для угла имеющего три грани теорема первая: кос а = кос б кос е + син б син е кос А,
Где а, б, е – плоские углы, А – двугранный угол
Так же есть теорема два для угла имеющего три грани.
Теорему косинусов для угла, имеющего три грани еще по – другому называют сферической геометрией .
Теорема - доказательство так же применяется в геометрии Лобачевского.
Теорема косинусов доказательство может быть использована и для четырехугольника.
.Утверждение, которое называют, иногда, теорема косинусов для четырехугольника можно получить, если возвести в квадрат тождество: АВ = АБ + БС + СВ
АВ, АБ, БС, СВ – стороны прямоугольника.
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б – 2 ас кос е – 2бс кос С, где е- угол находящийся между прямыми АБ и СВ.
Можно сказать по другому:
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б + 2 ас кос (угла А + угла В) – 2бс кос С
Применить теорему можно и в других случаях.
Вместе с теоремой косинусов для треугольника практически всегда применяют теорему синусов для треугольника. А так же эта она применяется для других геометрических фигур.
Формулировка.
Сумма квадратов остальных двух сторон, за вычетом удвоенного их произведения, умноженная на косинус определенного угла между ними, соответствует квадрату одной стороны нашего треугольника.
Рассмотрим плоский треугольник, у которого обозначим стороны: а, б, в. Угол, противолежащий стороне а, обозначим е.
Будет справедливо соотношение для данного треугольника :
Доказательство теоремы:
Рассмотрим треугольник АБВ.
Из вершины В на сторону АБ опустим высоту ВС.
Треугольник АБВ является прямоугольным. Исходя из этого, величину стороны АС из соотношения тригонометрических функций можно найти
АС / АВ = кос е
АС = АВ кос е
АС = б кос е
Длину стороны БС найдем через разность АБ и АС:
БС = АБ – АС
БС = в – б кос е
Для треугольников АСВ и БСВ, имеющих прямой угол: воспользуемся теоремой Пифагора:
ВС 2 + БС2 = БВ2
ВС2 + АС 2= АВ2
Откуда
ВС 2= БВ2 – БС2
ВС2 = АВ2 – АС2
Так как левые части уравнения равны, то правые части уравнений приравниваем:
БВ2 – БС2 = АВ2 – АС2
Подставим значение сторон (а, б, в).
а2 – ( в – б кос е)2 = б2 – (б кос е)2
а2 = (в – б кос е) 2+ б 2– (б кос е)2
а2 = б 2+ в2 – 2 б в кос е + (б кос е)2 – (б кос е)2
а2 = б2 + в2 – 2бв кос е.
Доказательство выполнено.
Для треугольника, у которого, на продолжение основания падает высота, а угол основания тупой также подходит теорема косинусов для треугольника.
Теорема косинусов для треугольника. Следствие.
Она опирается на свойства функции кос:
• Если , то cos а >0
• Ecли =90°, то cos е=0
• Если , то cos а<0
Используя формулу, которая была получена ранее, выражаем кос а:
а2 = б2 + с2–2бскоса
2бс кос а =б2 + с 2– а 2
Кос а = б2 + с2 – а2 / 2бс
2бс больше 0, при любых б и с ( так как длины сторон положительные), значит:
Если б2 + с2 – а2 больше 0, угол острый
Если б2 + с 2– а2 равен 0, угол прямой
Если б2 + с2 – а2 меньше 0, угол тупой
а, б, с – стороны рассматриваемого треугольника.
Теорема косинусов для треугольника может быть использована для угла имеющего три грани.
3-х гранный угол представляет собой пространство, которое ограничено тремя плоскими углами, имеющими одну вершину и общими сторонами попарно, которые не лежат в одной плоскости. Вершиной 3- х гранного угла называется вершина общая для этих углов. Гранями иначе называют плоские углы при вершине 3- х граного угла, а стороны называются ребрами. Двугранный угол образуют две грани из угла, имеющего три грани, который ограничен третьей гранью, которая не входит в пару. Если в центр сферы поместить вершину трехгранного угла, то на ее поверхности образуется сферический треугольник. Его стороны равны плоским углам трехгранного угла, а углы равны двухгранным углам.
Теорема косинусов для угла, имеющего три грани.
Для угла имеющего три грани теорема первая: кос а = кос б кос е + син б син е кос А,
Где а, б, е – плоские углы, А – двугранный угол
Так же есть теорема два для угла имеющего три грани.
Теорему косинусов для угла, имеющего три грани еще по – другому называют сферической геометрией .
Теорема - доказательство так же применяется в геометрии Лобачевского.
Теорема косинусов доказательство может быть использована и для четырехугольника.
.Утверждение, которое называют, иногда, теорема косинусов для четырехугольника можно получить, если возвести в квадрат тождество: АВ = АБ + БС + СВ
АВ, АБ, БС, СВ – стороны прямоугольника.
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б – 2 ас кос е – 2бс кос С, где е- угол находящийся между прямыми АБ и СВ.
Можно сказать по другому:
В2 = а2 + б2 + с2 – 2аб кос Б + 2 ас кос (угла А + угла В) – 2бс кос С
Применить теорему можно и в других случаях.
Вместе с теоремой косинусов для треугольника практически всегда применяют теорему синусов для треугольника. А так же эта она применяется для других геометрических фигур.